《高等代数（一）》课程教学纲要

一、课程概述

（一）课程学时与学分

课程代码：1314070120，数学与应用数学（师范）专业，第一学期开课。
　　课程总学时：56学时，3.5学分。课程总学时包括课堂讲授42学时、课程实验0学时、课程讨论6学时，习题课8学时和课外实践0学时。

（二）课程性质

高等代数是高等师范院校数学系数学与应用数学（师范）专业传统的基础主干课之一。首先，高等代数是中学数学的延伸与提高，对于刚刚步入高师数学与应用数学（师范）专业的学生而言，具有承前启后的意义；其次，高等代数就其知识内容而言是高师数学与应用数学（师范）专业所开设的全部课程的基础，就其思想方法而言是实现高师数学与应用数学（师范）专业培养目标，提高学生专业素质，强化素质教育的基础；最后，由于计算机科学与技术的普及和发展以及由此引发的对离散数学要求的日益提高，使得高等代数课的地位更显重要和突出，它是数学与应用数学（师范）专业的必修课。

（三）教学目的

1.使学生掌握高等代数的基本概念、基本理论、基本方法，从而为后续课程以及继续深造打下坚实的基础。
　　2.使学生对中学数学中的有关内容有新的更深刻的认识和体会，为学生将来从事中学数学教育提供必要的知识与理论、技能与方法上的准备。
　　3.提高学生的空间想象能力、抽象概括能力、逻辑演绎能力、计算推理能力。
　　4.让学生了解这门既有深奥的理论基础，又具有很强的使用价值的学科，增强他们的解决实际问题的能力。

（四）本课程与其它课程的联系与分工

《高等代数》是一门专业基础课，它的后续课是《近世代数》、《离散数学》、《运筹学》、《模糊数学》、《数学建模》等。《高等代数》介绍相关内容的基础理论和解决方法，后续课是《高等代数》理论的应用。
　　二、课程教学的基本内容和要求
　　通过学习本课程，学生能掌握多项式理论（一元多项式）及线性代数（线性方程组）的基本知识和基础理论，熟悉和掌握抽象的、严格的代数方法，理解具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辩证关系，提高抽象思维、逻辑推理能力，培养用代数思想、及相关理论解决实际问题的能力。
　　第一章 多项式（25学时）
　　本章主要介绍数域上一元多项式的概念及其运算、整除性、因式分解和复数域、实数域上多项式的可约性及有理系数多项式有理根的求法，多项式理论是高等代数的重要内容，是中学数学有关知识的加深和扩充，对中学数学教学有指导作用。 要求学生掌握数域的定义,并会判断一个代数系统是否是数域。正确理解数域上一元多项式的定义,多项式相乘,次数,一元多项式环等概念。掌握多项式的运算及运算律。正确理解整除的定义,熟练掌握带余除法及整除的性质。正确理解和掌握两个(或若干个)多项式的最大公因式,互素等概念及性质。能用辗转相除法求两个多项式的最大公因式。正确理解和掌握不可约多项式的定义及性质。深刻理解并掌握因式分解及唯一性定理。掌握标准分解式。正确理解和掌握重因式的定义。掌握多项式函数的概念,余数定理,多项式的根及性质。正确理解多项式与多项式函数的关系。理解代数基本定理。熟练掌握复（实）系数多项式分解定理及标准分解式。深刻理解有理系数多项式的分解与整系数多项式分解的关系。掌握本原多项式的定义、高斯引理、整系数多项式的有理根的性质、Eisenstein判别法。理解多元多项式、对称多项式的定义，掌握对称多项式基本定理。
　　教学重点与难点
　　整除概念、带余除法及整除的性质、最大公因式、互素、辗转相除法、不可约多项式概念、性质、因式分解及唯一性定理、重因式与重根的关系、复（实）系数多项式分解定理、本原多项式、Eisenstein判别法。
　　第二章 行列式（12学时）
　　行列式是线性方程组理论的一个重要组成部分，是中学数学有关内容的提高和推广，是一种重要的数学工具。本章主要讲授级行列式定义与性质，行列式的计算，克兰姆法则等。要求学生理解并掌握排列、逆序、逆序数奇偶排列的定义。掌握排列的奇偶性与对换的关系。深刻理解和掌握级行列式的定义,能用定义计算一些特殊行列式。熟练掌握行列式的基本性质。正确理解矩阵、矩阵的行列式、矩阵的初等变换等概念，能利用行列式性质计算一些简单行列式。正确理解元素的余子式、代数余子式等概念。熟练掌握行列式按一行（列）展开的公式。掌握“化三角形法”，“递推降阶法”，“数学归纳法”等计算行列式的技巧。熟练掌握克莱姆(Cramer)法则。正确理解和掌握行列式的一个级子式的余子式等概念、熟练掌握拉普拉斯(Laplace)定理.理解行列式的乘法规则。
　　教学重点与难点
　　级行列式的定义、行列式的基本性质、矩阵、矩阵的行列式、矩阵的初等变换、行列式按一行（列）展开的公式、克莱姆(Cramer)法则、拉普拉斯(Laplace)定理。
　　第三章 线性方程组（19学时）
　　本章在理论上解决了线性方程组有解的判定，解的个数及求法，对中学数学有直接的指导意义。线性方程组理论在本课程及数学的其它分支、生产实践及其它学科都有广泛应用。要求学生正确理解和掌握一般线性方程组,方程组的解,增广矩阵，线性方程组的初等变换等概念及性质。掌握阶梯形方程组的特征及作用。会求线性方程组的一般解。理解和掌握维向量及两个维向量相等的定义。熟练掌握向量的运算。深刻理解维向量空间的概念。正确理解和掌握线性组合、线性相关、线性无关的定义及性质。掌握两个向量组等价的定义及等价性质定理。深刻理解向量组的极大无关组、秩的定义，会求向量组的一个极大无关组。深刻理解和掌握矩阵的行秩、列秩、秩的定义。掌握矩阵的秩与其子式的关系。熟练掌握线性方程组的有解判别定理。理解和掌握线性方程组的公式解。正确理解和掌握齐次线性方程组的基础解系,解空间的维数与概念。熟练掌握基础解系的求法、线性方程组的结构定理。会求一般线性方程组有解的全部解。
　　教学重点与难点
　　线性方程组的初等变换、求线性方程组的一般解、维向量、线性组合、线性相关、线性无关、两个向量组等价、极大无关组、向量组的秩、求向量组的一个极大无关组、矩阵的秩、线性方程组的有解判别定理、线性方程组的公式解、齐次线性方程组的基础解系、基础解系的求法、线性方程组的结构定理、求一般线性方程组有解的全部解。
　　三、教学方式和方法
　　教师以课堂讲授为主要教学手段，启发式教学，理论课与习题课交互进行。理论课上注意对学生思维能力的培养，习题课中加强对学生推理能力与计算能力的训练。同时，合理地使用计算机多媒体辅助教学工具，以达到节约时间及使课程新颖，生动，直观的效果。适当地应用Mathematica或Matlab等数学软件进行实际问题的计算，以起到通过实践而深入理解理论的作用。部分内容可以辅以学生的自学或专题研讨，再由教师总结。必须安排教师课后的辅导答疑。辅导答疑与授课时数比约为6：1，辅导答疑以助讲教师为主，学生必须完成适量的习题和作业。
以“一元多项式”理论为“缓冲过程”，来完成由初等数学到高等数学的顺利过渡；以行列式，矩阵，方程组等章节中配置的大量实际问题来实现与其它学科地衔接；以向量空间的基本理论来进行对学生抽象思维能力的培养；是所采用的最基本的教学手段。
　　四、课程考试方式和要求
考核方式：期末考试为闭卷考试，试卷卷面成绩为100分；试卷卷面成绩折合为70分，平时考核成绩为30分，综合考试成绩满分为100分，综合考试成绩60分以上者，获得相应的学分。
　　五、课程使用的教材与教学参考资料
　　（一）教材
　　教材名称：《高等代数》北京大学主编 高等教育出版社 2007年3月

（二）参考资料
　　1.《高等代数》刘仲奎 杨永保 主编 高等教育出版社　2006年4月
　　2.《高等代数与解析几何》陈志杰 编 高等教育出版社 2006年10月
　　3.《高等代数与解析几何》王德生 编 辽宁师范大学出版社 2004年9月
　　4.《高等代数》东北师范大学数学系 编 东北师范大学出版社 2003年5月
　　5.《高等代数附册—习题解答与提示》北京大学 主编 高等教育出版社 2007年3月
　　6.《高等代数》 清华大学应用数学系 主编 清华大学出版社　 2004年10月

《高等代数（二）》课程教学纲要

一、课程概述

（一）课程学时与学分

课程代码：1314070130，数学与应用数学（师范）专业，第二学期开课。
课程总学时96学时，总学分6学分。课程总学时包括课堂讲授80学时、课程实验0学时、课程讨论6学时，习题课10学时和课外实践0学时。

（二）课程性质

高等代数是高等师范院校数学系数学与应用数学（师范）专业传统的基础主干课之一。首先，高等代数是中学数学的延伸与提高，对于刚刚步入高师数学与应用数学（师范）专业的学生而言，具有承前启后的意义；其次，高等代数就其知识内容而言是高师数学与应用数学（师范）专业所开设的全部课程的基础，就其思想方法而言是实现高师数学与应用数学（师范）专业培养目标，提高学生专业素质，强化素质教育的基础；最后，由于计算机科学与技术的普及和发展以及由此引发的对离散数学要求的日益提高，使得高等代数课的地位更显重要和突出，它是数学与应用数学（师范）专业的必修课。

（三）教学目的

1.使学生掌握高等代数的基本概念、基本理论、基本方法，从而为后续课程以及继续深造打下坚实的基础。
　　2.使学生对中学数学中的有关内容有新的更深刻的认识和体会，为学生将来从事中学数学教育提供必要的知识与理论、技能与方法上的准备。
　　3.提高学生的空间想象能力、抽象概括能力、逻辑演绎能力、计算推理能力。
　　4.让学生了解这门既有深奥的理论基础，又具有很强的使用价值的学科，增强他们的解决实际问题的能力。

（四）本课程与其它课程的联系与分工

《高等代数》是一门专业基础课，它的后续课是《近世代数》、《离散数学》、《运筹学》、《模糊数学》、《数学建模》等。《高等代数》介绍相关内容的基础理论和解决方法，后续课是《高等代数》理论的应用。
　　二、课程教学的基本内容和要求
　　通过学习本课程，学生能掌握线性代数（矩阵、向量空间和线性变换）的基本知识和基础理论，熟悉和掌握抽象的、严格的代数方法，理解具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辩证关系，提高抽象思维、逻辑推理能力，培养用代数思想、及相关理论解决实际问题的能力。
　　第四章 矩阵（11学时）
　　矩阵是线性代数的一个主要研究对象，是本课程重要的理论组成部分，它是数学及其它学科的一个重要工具。本章主要介绍矩阵的运算及其基本性质。要求学生了解矩阵概念产生的背景。掌握矩阵的加法、数乘、乘法、转置等运算及其计算规律。掌握矩阵乘积的行列式定理，矩阵乘积的秩与它的因子的秩的关系。正确理解和掌握可逆矩阵、逆矩阵、伴随矩阵等概念，掌握一个阶方阵可逆的充要条件和用公式法求一个矩阵的逆矩阵。理解分块矩阵的意义，掌握分块矩阵的加法、乘法的运算及性质。正确理解和掌握初等矩阵、初等变换等概念及其它们之间的关系，熟练掌握一个矩阵的等价标准形和矩阵可逆的充要条件；会用初等变换的方法求一个方阵的逆矩阵。理解分块乘法的初等变换和广义初等矩阵的关系，会求分块矩阵的逆。
教学重点与难点
　　矩阵的运算、矩阵乘积的行列式定理、矩阵乘积的秩与它的因子的秩的关系、可逆矩阵、逆矩阵、伴随矩阵、阶方阵可逆的充要条件、用公式法逆矩阵、分块矩阵的意义及运算、初等矩阵、用初等变换的方法逆矩阵、分块矩阵的逆。
　　第五章 二次型（11学时）
　　二次型的理论起源于解析几何中二次曲线和二次曲面的分类，是中学有关内容的深入和提高，也是线性代数的一个主要研究对象。本章主要介绍化二次型为标准形和正定二次型的判别。要求学生正确理解二次形和非退化线性替换的概念；掌握二次型的矩阵表示及二次型与对称矩阵的一一对应关系；掌握矩阵的合同概念及性质。理解二次型的标准形，掌握化二次型为标准型的方法（配方法、初等变换法）。正确理解复数域和实数域上二次型的规范性的唯一性；掌握惯性定理。 正确理解正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵等概念；熟练掌握正定二次型及半正定二次型的等价条件。
教学重点和难点
　　非退化线性替换、二次型的矩阵、二次型与其矩阵的一一对应关系、矩阵的合同、化二次型为标准型、复数域和实数域上二次型的规范性的唯一性、惯性定理、正定二次型的判别条件、半正定二次型的等价条件。
　　第六章 线性空间（18学时）
　　线性空间的理论是线性代数的主要内容，它在自然科学和工程技术的许多领域中有着广泛的应用。本章主要介绍线性空间的概念与性质。要求学生掌握映射、单射、满射（映上的映射）、一一映射、逆映射等概念。正确理解和掌握线性空间的定义及性质；会判断一个代数系统是否是线性空间。理解线性组合、线性表示、线性相关、线性无关等概念；正确理解和掌握维线性空间及的概念及性质。正确理解和掌握基变换与坐标变换的关系。正确理解线性子空间的定义及判别定理；掌握向量组生成子空间的定义及等价条件。掌握子空间的交与和的定义及性质；熟练掌握维数公式。深刻理解子空间的直和的概念及和为直和的充要条件。理解和掌握线性空间同构的定义、性质及两个有限维空间同构的充要条件。
　　教学重点与难点
　　线性空间、判断一个代数系统是否是线性空间、维线性空间及的概念及性质、基变换与坐标变换的关系、线性子空间的定义及判别定理、向量组生成子空间的定义及等价条件、子空间的交与和、维数公式、子空间的直和、线性空间同构的定义、性质及两个有限维空间同构的充要条件。
　　第七章 线性变换（18学时）
　　线性变换是向量空间中最简单而又最基本的变换。它是线性代数的主要研究对象之一，对于研讨向量空间中向量之间的内在联系及向量空间的结构起着重要的作用。本章主要介绍线性变换的运算、性质、线性变换与矩阵的关系及矩阵的相似与化简。要求学生理解和掌握线性变换的定义及性质。掌握线性变换的运算及运算规律，理解线性变换的多项式。深刻理解和掌握线性变换与矩阵的联系；掌握矩阵相似的概念和线性变换在不同基下的矩阵相似等性质。理解和掌握矩阵的特征值、特征向量、特征多项式的概念和性质；会求一个矩阵的特征值和特征向量；掌握相似矩阵与它们的特征多项式的关系及哈密尔顿—凯莱定理。掌握维线性空间中一个线性变换在某一组基下的矩阵为对角型的充要条件。掌握线性变换的值域、核、秩、零度等概念；深刻理解和掌握线性变换的值域与它对应的矩阵的秩的关系及线性变换的秩和零度间的关系。掌握不变子空间的定义；会判定一个子空间是否是-子空间；深刻理解不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系；掌握将空间按特征值分解成不变子空间的直和表达式。掌握标准型的定义。正确理解最小多项式的概念；掌握一个矩阵相似于一个对角阵与它的最小多项式的关系。
　　教学重点与难点
　　线性变换的定义及性质、线性变换的运算、线性变换与矩阵的联系、矩阵相似、线性变换在不同基下的矩阵、矩阵的特征值、特征向量、特征多项式、求矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵与它们的特征多项式的关系、哈密尔顿—凯莱定理、线性变换在某一组基下的矩阵为对角型的充要条件、线性变换的值域、核、秩、零度、线性变换的值域与它对应的矩阵的秩的关系及线性变换的秩和零度间的关系、不变子空间的定义、判定一个子空间是否是A-子空间、不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系、将空间V按特征值分解成不变子空间的直和表达式、标准型的定义、最小多项式。
　　第八章 —矩阵（16学时）
　　本章是向量空间和线性变换理论的应用，主要讲授在有理数域上的结论。要求学生掌握—矩阵的标准形，掌握矩阵相似的条件，熟练掌握求—矩阵的标准形的方法，理解—矩阵、若尔当矩阵、不变因子、初等因子、行列式因子的概念。
教学重点与难点
矩阵及其标准形、行列式因子、不变因子、初等因子
　　第九章 欧几里得空间（18学时）
　　欧氏空间是实数域上带有一个内积的向量空间，是通常几何空间的推广。本章主要介绍欧氏空间的概念，标准正交基和正交变换。要求学生深刻理解欧氏空间的定义及性质；掌握向量的长度，两个向量的夹角、正交及度量矩阵等概念和基本性质，使学生掌握各种概念之间的联系和区别。正确理解正交向量组、标准正交基的概念，掌握施密特正交化过程，并能把一组线性无关的向量化为单位正交的向量。深刻理解两个欧氏空间同构的定义。掌握两个欧氏空间同构的意义及同构与空间维数之间的关系。正确理解和掌握正交变换的概念及几个等价关系，让学生掌握正交变换与向量的长度，标准正交基，正交矩阵间的关系。正确理解和掌握两个子空间正交的概念，掌握正交与直和的关系，及欧氏空间中的每一个子空间都有唯一的正交补的性质。深刻理解并掌握任一个对称矩阵均可正交相似于一个对角阵，并掌握求正交阵的方法。能用正交变换化实二次型为标准型。
　　教学重点与难点
　　欧氏空间的定义及性质向量的长度，两个向量的夹角、正交及度量矩阵等概念和基本性质、正交向量组、标准正交基的概念、施密特正交化、欧氏空间同构的意义及同构与空间维数之间的关系、正交变换的概念及几个等价关系、正交变换与向量的长度，标准正交基，正交矩阵间的关系、两个子空间正交的概念、正交与直和的关系、正交阵、用正交变换化实二次型为标准形。
　　第十章 双线性函数与辛空间（4学时）
　　辛空间是特殊的内积空间，本章主要讲授辛空间的基本概念，要求学生了解基本概念及性质。
　　教学重点和难点
　　线性函数、双线性函数，对偶空间、行空间的概念、对偶基
　　三、教学方式和方法
　　教师以课堂讲授为主要教学手段，启发式教学，理论课与习题课交互进行。理论课上注意对学生思维能力的培养，习题课中加强对学生推理能力与计算能力的训练。同时，合理地使用计算机多媒体辅助教学工具，以达到节约时间及使课程新颖，生动，直观的效果。适当地应用Mathematica或Matlab等数学软件进行实际问题的计算，以起到通过实践而深入理解理论的作用。部分内容可以辅以学生的自学或专题研讨，再由教师总结。必须安排教师课后的辅导答疑。辅导答疑与授课时数比约为6：1，辅导答疑以助讲教师为主，学生必须完成适量的习题和作业。
　　四、课程考试方式和要求
　　考核方式：期末考试为闭卷考试，试卷卷面成绩为100分；试卷卷面成绩折合为70分，平时考核成绩为30分，综合考试成绩满分为100分，综合考试成绩60分以上者获得相应的学分。
　　五、课程使用的教材与教学参考资料
　　（一）教材
　　教材名称：《高等代数》北京大学主编 高等教育出版社 2007年3月
　　（二）参考资料
　　1.《高等代数》刘仲奎 杨永保 主编 高等教育出版社 2006年4月
　　2.《高等代数与解析几何》陈志杰 编 高等教育出版社 2006年10月
　　3.《高等代数与解析几何》王德生 编 辽宁师范大学出版社 2004年9月
　　4.《高等代数》东北师范大学数学系 编 东北师范大学出版社 2003年5月
　　5.《高等代数附册—习题解答与提示》北京大学 主编 高等教育出版社2007年3月
　　6.《高等代数》 清华大学应用数学系 主编 清华大学出版社 2004年10月